Cisco SF300 Switch mit 3 VLANs, 3 Internetanschlüssen, 3 DHCP Servern. Wie kann ich ein interVLAN realisieren..?

Such dir Bekannte aus die du fragst, die auch wirklich wissen worüber sie sprechen !!
Raten und in die Kristallkugel sehen kann jeder....gibts hier auch zuhauf !

"...haben dann nicht auch die Geräte im VLAN20 und VLAN30 auch Zugriff auf die Geräte in VLAN10..???"
A.: Ja natürlich. Erstmal ja, denn der Switch routet ja erstmal ohne Einschränkungen.
Wenn du das unterbinden willst, dann sind wir in der Tat wieder bei den Accesslisten !! Damit schänkst du den Zugriff ein !
Du weisst scheinbar sehr wenig über IP Kommunikation in Netzen, vielleicht solltest du erstmal etwas Grundlagen lesen, denn das was du machen willst erfordert etwas Accesslisten programmierung !!
Wenn ein PC in VLAN 10 z.B. einen Ping auf einen in VLAN 20 ausführt muss der PC aus VLAN 20 ja auch antworten an den PC in VLAN 10. Folglich musst du für die Rückroute also auch Kommunikation erlauben.
Einsetig alles dichtzumachen geht also nicht ! Du musst dir also wirklich genau überlegen WER mit WEM WAS in WELCHEM Vlan darf und danach die ACLs konfigurieren.
Soweit bist du ja erstmal noch gar nicht. Mache also nicht den 2ten Schritt vor dem ersten und bringe erstmal überhaupt den Grundkonfiguration zum laufen !!
DANN kann man die Türen mit ACLs langsam so zumachen wie du es haben willst.

Zu deiner Routing Frage:
Wenn dein Internet Router ein dummer Router ist der nichtmal statische Routen supportet (das Gros der Router kann sowas) dann hast du erstmal ein Problem.
Um die Kommunikation aber dennoch sicherzustellen kannst bzw. MUSST du dann auf jedem Client im VLAN diese statischen Routen als Workaround eintragen.
Bei Winblows geht das z.B. mit dem Kommando route add <zielnetz> mask <maske> <gateway_ip> -p in der Eingabeaufforderung.
Das ist eigentlich der falsche Weg denn routen sollen immer nur sinnigerweise die Router und nicht die Endgeräte aber wenn technisch diese Möglichkeit bei dir wegen Billighardware nicht besteht, dann musst du in den sauren Apfel beissen und das so machen oder andere Router beschaffen. Eine andere Option hast du de facto nicht !
Telefonanlagen können niemals selber routen geschweige denn PPPoE sprechen.
Vermutlich ist das ein Linux Router mit Asterisk VoIP oder sowas drauf der das aber dann schon kann.

Das du nichtmal das sicher weisst bzw. diese Geräte gar nicht kennst und keinerlei Grundlagenwissen zur IP Layer 3 Kommunikation hast sind, wie du dir sicher denken kannst, keine günstigen Voraussetzungen so ein Projekt erfolgreich umzusetzen. Wenigstens HW seitig ist ja soweit alles richtig.
Vielleicht solltest du dir jemand an deine Seite nehmen der wirklich weiss was er da macht ?!

..."Ich war nur vorerst der Annahme, dass der Switch eventuell direkt routen würde, sprich automatisch erkennt, dass es eine Anfrage in ein anderes VLAN ist."
A.: Ja, das tut er ja auch !! Dein Switch ist außer Switch auch noch ein Router zwischen den VLANs und erkennt anhand der IP Adresse im Ethernet Paket "automatisch" das dies Traffic für ein anderes VLAN ist und behandelt es entsprechend !
Ein absolutes Standardverhalten von IP Routern die anhand der Ziel IP Adresse im Paket die Wegefindung automatisch erkennen. Wie gesagt: Du solltest dir nochmal die Grundlagen der Layer 3 (Routing) IP Kommunikation anlesen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Routing

Natürlich ist die Option Routen auf Endgeräten zu konfigurieren extrem kontraproduktiv. Niemals macht man das denn routen sollen IMMER die Router im Netzwerk (dafür sind sie Router) und niemals die Endgeräte selber !!
Manchmal lässt sich das allerdings nicht vermeiden wenn man im Blödmarkt wieder im untersten Regal aufs Billigste geschielt hat und schrottige Billighardware im Netzwerk betreibt die das nicht supportet. Da muss man sich dann entscheiden: Entweder diese Kröte schlucken oder neue anständige HW !! Glücklicherweise ist das bei dir erstmal wohl nicht der Fall..?!
Option 33 im DHCP wäre ein Workaround aber da müsstest du dann sicher sein das alle DHCP Clients im Netz dies auch auswerten können. Das ist sehr oft nicht der Fall und löst dir dann auch nicht das Grundproblem das du die Routen dann schon wieder auf den Endgeräten hast !!
Bei statischer Adressierung müsstest du es dann eh wiederum statisch eintragen...

Was deine Asterisk Anlage anbetrifft ist es zweifelhaft das SSH dort deaktiviert ist. Normalerweise ist das nie der Fall bei Linux um einen sicheren Root Zugriff zu gewähren aber vermutlich hast nur DU keine Rechte für den SSH Shell Zugriff. Auch das ist üblich bei festen Voice Appliances auf Asterisk Basis wie z.B. Askozia
Die Chancen stehen dafür aber sehr gut das dort statische Routen einzutragen sind. Generell supportet Linux natürlich sowas und VoIP Anlagen betreibt man IMMER in separaten VoIP Voice VLANs. Für den remoten Zugriff auf diese Anlagen aus anderen VLANs sind statische Routing Einträge also zwingend erforderlich und auch absolut üblich in solchen Netzwerk Designs.
Das sollte also in jedem Falle klappen !
Solltest du aber sicher klären logischerweise !
Klar fängt jeder klein an, keine Frage ! Wenn das aber ein Kundenprojekt ist wo Geld fliest für eine fachgerechte Installation die ein Netzwerker in 15 Minuten erledigt hat und du mit "Trial and Error" vielleicht 2 Tage brauchst (oder es gar nicht hinbekommst) musst du dich mal an die eigene Nase fassen ob das der richtige Weg ist.
Nun gut, wir hier im Forum kennen die Rahmenbedingungen (vielleicht ists ja der Kumpel) nicht...die ja zur rein technischen Problemlösung auch erstmal irrelevant sind ?!